Fonctions - Généralités

Chapitre 1

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1. Définitions

1.1. Notion de fonction

            Une fonction f est une relation entre 2 ensembles : un ensemble A de départ et un ensemble B d’arrivée, qui, à tout élément x de A fait correspondre, au plus un élément y de B.

            On note :         y = f(x).

                                   y est l’image de x par f,

                                   x est un antécédent de y par f.

            Certains éléments x de A peuvent ne pas avoir d’image par f. On dit que ces éléments ne font pas partie de l’ensemble de définition de f, noté Df . En tout état de cause, si x a une image, celle-ci est unique.

            En revanche, il est tout à fait possible pour un élément y de B d’avoir plusieurs antécédents dans A.

            Si tout élément de A possède une image (et une seule) et si tout élément de B possède un antécédent et un seul, on dit que f est une bijection entre A et B.

            Dans toute la suite de ce chapitre, nous nous limiterons aux fonctions numériques, c’est-à-dire aux fonctions de þ dans þ.

1.2. Ensemble de définition d’une fonction numérique

            Les fonctions numériques sont, le plus souvent, définies par une expression mathématique, comme par exemple :

                                 où        .

            Parfois, l’ensemble de définition est explicitement donné avec la définition de la fonction :

            Soit f la fonction définie sur  .

                Lorsque l’ensemble de définition n’est pas indiqué, il suffit d’examiner l’expression pour déterminer les conditions d’existence de f(x) :

                        -           Y-a-t’il un dénominateur ? (celui-ci doit être non nul)

                        -           Y-a-t’il une racine carrée ? (le radicande doit être positif ou nul)

                        -           Y-a-t’il une fonction particulière non définie sur þ ? (comme la fonction logarithme par exemple).

2. Parité d’une fonction

2.1. Ensemble de définition centré

            Soit f une fonction. Soit Df  son ensemble de définition.

            On dit que Df est un ensemble de définition centré si et et seulement si :

Pour tout réel x,  si  Df , alors  - Df .

Exemples d’ensembles centrés	Exemples d’ensembles non centrés
þ*   (ou þ-{0})	þ-{1}
þ-{-1; 1}	þ-{-1; 2}

               

2.2. Fonction paire

            On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de Df, on  a :                f(-x) = f(x)

Remarques :

            - si n est un entier pair, positif ou négatif, la fonction définie par  est paire.

                        (c’est d’ailleurs de cet exemple que vient la dénomination de fonction paire)

            - la fonction  est une fonction paire,

            - la fonction  est une fonction paire,

            - l’opposée d’une fonction paire est une fonction paire,

            - l’inverse d’une fonction paire est une fonction paire,

            - la somme de deux fonctions paires est une fonction paire,

            - le produit de 2 fonctions paires ou de 2 fonctions impaires est une fonction paire.

            - la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par à l’axe des ordonnées.

2.3. Fonction impaire

            On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :

1. Son ensemble de définition est centré,

2. Pour tout réel x de Df, on  a :                f(-x) = -f(x)

Remarques :

            - si n est un entier impair, positif ou négatif, la fonction  est impaire,

            - la fonction  est impaire,

            - la fonction x→tanx est impaire,

            - l’opposée d’une fonction impaire est une fonction impaire,

            - l’inverse d’une fonction impaire est une fonction impaire,

            - la somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire,

            - le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est une fonction impaire.

            - la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

2.4. Autres cas de symétries dans une courbe

            Soit f une fonction. Soit Df son ensemble de définition et C sa courbe représentative.

            Deux cas peuvent se présenter :        

                        - C est symétrique par rapport à un axe d’équation ,

                               - C est symétrique par rapport à un point W(a,b).

            Nous admettrons les résultats suivants :

Si, pour tout réel x tel que  Df,  on a :  Df et

Alors, la courbe C est symétrique par rapport à l’axe d’équation .

Si, pour tout réel x tel que  Df,  on a :  Df et

Alors, la courbe C est symétrique par rapport au point W(a,b).

           

3. Périodicité

3.1. Définition

            On dit qu’une fonction f est périodique si et seulement si, il existe un réel T strictement positif tel que :

Df, on a :      Df     et   .

                On appelle période de la fonction f le plus petit réel T vérifiant la propriété ci-dessus.

            Si f est une fonction de période T, alors on a : Df : ü.

                L’intervalle d’étude d’une fonction périodique peut se réduire à un intervalle couvrant une seule période.

3.2. Exemples de fonctions périodiques

            Rappelons les résultats bien connus sur les fonctions périodiques classiques :

Fonction	Df	Période
x→sinx	þ	2p
x→cosx	þ	2p
x→tanx	þ-{p/2+kp, ü}	p
x→sin(ax+b)	þ	2p/a
x→cos(ax+b)	þ	2p/a